BAB 10: ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG
LOGIKA
A.
Pengantar
Aljabar Boolean
1.
Sejarah
dan Definisi
a.
Ditemukan
oleh George Boole (1854) dalam bukunya "The Laws of Thought"
b.
Aljabar
Boolean adalah aljabar dengan dua nilai
c.
Digunakan
untuk menganalisis dan menyederhanakan rangkaian logika
d.
Claude
Shannon (1938) menerapkannya pada rangkaian relay/switching
2.
Perbedaan
dengan Aljabar Biasa
a.
Variabel
Boolean hanya bernilai 0 atau 1
b.
Operasi
dasar — AND, OR, NOT (bukan +, -, ×)
c.
Tidak
ada konsep negatif, pecahan, atau akar
d.
Hukum-hukum
tertentu berbeda (misal: A + A = A, bukan 2A)
3.
Variabel
dan Konstanta Boolean
a.
Variabel
— A, B, C, ... (mewakili sinyal logika)
b.
Konstanta
— 0 (FALSE, LOW, OFF) dan 1 (TRUE, HIGH, ON)
c.
Literal
d.
Ekspresi
Boolean
B.
Operasi
Dasar Boolean (AND, OR, NOT)
1.
Operasi
AND
a.
Symbol
b.
Hasil
= 1 jika SEMUA input = 1
c.
Tabel
kebenaran: A=0,B=0→0, 0,1→0, 1,0→0, 1,1→1
d.
Analogi
2.
Operasi
OR
a.
Symbol
b.
Hasil
= 1 jika SATU atau lebih input = 1
c.
Tabel
kebenaran
d.
Analogi
3.
Operasi
NOT (Inversi)
a.
Symbol
b.
Hasil
= kebalikan dari input (0→1, 1→0)
c.
Tabel
kebenaran
d.
Analogi
4.
Prioritas
Operasi
a.
Urutan:
NOT (tertinggi) → AND → OR (terendah)
b.
Tanda
kurung untuk mengubah prioritas
c.
Contoh:
A + B · C = A + (B · C), bukan (A + B) · C
d.
Penting
untuk interpretasi ekspresi yang benar
C.
Gerbang
Logika Dasar
1.
Gerbang
AND
a.
Symbol
b.
Input
minimal 2, output 1
c.
IC
7408 (quad 2-input AND)
d.
Aplikasi
2.
Gerbang
OR
a.
Symbol
b.
Input
minimal 2, output 1
c.
IC
7432 (quad 2-input OR)
d.
Aplikasi
3.
Gerbang
NOT (Inverter)
a.
Symbol
b.
Input
1 output 1
c.
IC
7404 (hex inverter)
d.
Aplikasi
4.
Implementasi
dengan Transistor
a.
RTL
(Resistor-Transistor Logic) — resistor + transistor
b.
DTL
(Diode-Transistor Logic) — dioda + transistor
c.
TTL
(Transistor-Transistor Logic) — populer di IC 74xx
d.
CMOS
D.
Gerbang
Logika Turunan
1.
Gerbang
NAND
a.
NOT
+ AND — kebalikan dari AND
b.
Symbol
c.
Tabel
kebenaran: output = 1 kecuali semua input = 1
d.
IC
7400 (quad 2-input NAND)
e.
Universal
gate
2.
Gerbang
NOR
a.
NOT
+ OR
b.
Symbol
c.
Tabel
kebenaran: output = 1 hanya jika semua input = 0
d.
IC
7402 (quad 2-input NOR)
e.
Universal
gate
3.
Gerbang
XOR
a.
Exclusive
OR — output = 1 jika input berbeda
b.
Simbol
— gerbang OR dengan garis ekstra di sisi kiri
c.
Tabel
kebenaran: 0,0→0, 0,1→1, 1,0→1, 1,1→0
d.
IC
7486 (quad 2-input XOR)
e.
Aplikasi
4.
Gerbang
XNOR
a.
Exclusive
NOR — kebalikan dari XOR
b.
Symbol
c.
Tabel
kebenaran: output = 1 jika input sama
d.
IC
74266 (quad 2-input XNOR)
e.
Aplikasi
E.
Hukum-Hukum
Aljabar Boolean
1.
Hukum
Komutatif
a.
AND:
A · B = B · A
b.
OR:
A + B = B + A
c.
Sama
seperti aljabar biasa
d.
Digunakan
untuk pertukaran input gerbang
2.
Hukum
Asosiatif
a.
AND:
(A · B) · C = A · (B · C)
b.
OR:
(A + B) + C = A + (B + C)
c.
Sama
seperti aljabar biasa
d.
Digunakan
untuk mengelompokkan operasi
3.
Hukum
Distributif
a.
A
· (B + C) = (A · B) + (A · C)
b.
A
+ (B · C) = (A + B) · (A + C)
c.
Yang
kedua tidak berlaku di aljabar biasa
d.
Sangat
berguna untuk penyederhanaan
4.
Hukum
Identitas dan Nul
a.
A
· 1 = A, A · 0 = 0
b.
A
+ 0 = A, A + 1 = 1
c.
A
· A = A, A + A = A (idempotent)
d.
A
· Ā = 0, A + Ā = 1 (komplemen)
5.
Hukum
Absorpsi
a.
A
+ (A · B) = A
b.
A
· (A + B) = A
c.
A
+ (Ā · B) = A + B
d.
A
· (Ā + B) = A · B
e.
Sangat
efisien untuk penyederhanaan
6.
Hukum
De Morgan
a.
(A
· B)̄ = Ā + B̄ — NAND = inverted OR
b.
(A
+ B)̄ = Ā · B̄ — NOR = inverted AND
c.
Generalisasi
— (A₁ · A₂ · ... · Aₙ)̄ = Ā₁ + Ā₂ + ... + Āₙ
d.
Salah
satu hukum paling penting dalam desain digital
F.
Tabel
Kebenaran
1.
Definisi
dan Fungsi
a.
Tabel
yang menunjukkan semua kemungkinan kombinasi input dan output yang sesuai
b.
Jumlah
baris = 2^n (n = jumlah input)
c.
Digunakan
untuk mendefinisikan fungsi logika
d.
Digunakan
untuk verifikasi dan debugging rangkaian
2.
Membuat
Tabel Kebenaran
a.
Tulis
semua kombinasi input (dari 00...0 sampai 11...1)
b.
Urutan
biner berurutan untuk konsistensi
c.
Tentukan
output untuk setiap kombinasi
d.
Contoh:
tabel kebenaran gerbang AND, OR, NOT
3.
Minterm
dan Maxterm
a.
Minterm
— kombinasi input yang menghasilkan output = 1
b.
Maxterm
— kombinasi input yang menghasilkan output = 0
c.
Notasi
m₀, m₁, m₂, ... (minterm)
d.
Notasi
M₀, M₁, M₂, ... (maxterm)
4.
SOP
(Sum-of-Products)
a.
Fungsi
Boolean sebagai jumlah dari minterm (AND kemudian OR)
b.
Contoh:
F(A,B,C) = Σm(1,3,5,7)
c.
Setiap
minterm = AND dari semua variable
d.
Implementasi
5.
POS
(Product-of-Sums)
a.
Fungsi
Boolean sebagai perkalian dari maxterm (OR kemudian AND)
b.
Contoh:
F(A,B,C) = ΠM(0,2,4,6)
c.
Setiap
maxterm = OR dari semua variable
d.
Implementasi
G.
Implementasi
Gerbang Logika dengan IC
1.
Keluarga
TTL (74xx)
a.
Standar
TTL — 74LS00 (Low-power Schottky)
b.
Tegangan
— Vcc=5V, V_OH≈2.4V, V_OL≈0.4V
c.
Kecepatan
d.
Konsumsi
daya
2.
Keluarga
CMOS (40xx dan 74HCxx)
a.
40xx
— seri CMOS klasik (HEF40xx)
b.
74HCxx
— high-speed CMOS (kompatibel TTL)
c.
Tegangan
— 2V-6V (konsumsi daya sangat kecil)
d.
Kecepatan
— prop delay ≈ 5-20ns (tergantung tegangan)
3.
Perbandingan
TTL vs CMOS
a.
TTL
— lebih cepat, daya lebih besar, tegangan tetap 5V
b.
CMOS
— daya sangat kecil, rentang tegangan luas
c.
TTL
— input mengalir arus, CMOS — input sangat kecil
d.
Saat
ini
4.
Datasheet
dan Pinout
a.
IC
7408 — quad 2-input AND gate (14 pin)
b.
IC
7432 — quad 2-input OR gate
c.
IC
7404 — hex NOT gate
d.
Membaca
datasheet
H.
Aplikasi
Gerbang Logika
1.
Enable/Disable
Sinyal
a.
Gerbang
AND — melewatkan sinyal jika enable = 1
b.
Gerbang
OR — menggabungkan dua sinyal
c.
Aplikasi
d.
Contoh
2.
Deteksi
Sinyal
a.
XOR
— deteksi perbedaan dua sinyal
b.
XNOR
— deteksi kesamaan dua sinyal
c.
Aplikasi
d.
Contoh
3.
Selector
dan Multiplexer
a.
AND
+ OR + NOT untuk multiplexer sederhana
b.
Contoh:
2:1 multiplexer dengan gerbang logika
c.
Aplikasi
d.
Contoh:
input selection pada ADC
4.
Implementasi
Fungsi Boolean
a.
Menggunakan
gerbang NAND saja (universal)
b.
Menggunakan
gerbang NOR saja (universal)
c.
Mengurangi
jumlah IC yang digunakan
d.
Contoh:
implementasi XOR dengan NAND saja
Komentar
Posting Komentar