BAB 26: TRANSFORMASI FOURIER (FFT)

 

BAB 26: TRANSFORMASI FOURIER (FFT)

 

A.    Konsep Dasar Deret Fourier

1.     Definisi Deret Fourier

a.     Deret Fourier menyatakan bahwa setiap sinyal periodik dapat diuraikan menjadi jumlah sinus dan kosinus dengan frekuensi harmonic

b.     f(t) = a₀ + Σ (aₙ cos(2πnft) + bₙ sin(2πnft))

c.     a₀ = komponen DC (nilai rata-rata)

d.     aₙ dan bₙ = koefisien Fourier

e.     Ditemukan oleh Joseph Fourier (1807)

2.     Komponen Spektrum Sinyal

a.     Setiap sinyal memiliki komponen frekuensi yang berbeda

b.     Sinyal sinusoidal murni: hanya satu frekuensi (spektrum garis)

c.     Sinyal persegi (square wave): frekuensi dasar + harmonisa ganjil

d.     Sinyal kompleks: spektrum kontinu (banyak frekuensi)

e.     Spektrum sinyal menunjukkan karakteristik sinyal tersebut

3.     Domain Waktu vs Domain Frekuensi

a.     Domain waktu: sinyal sebagai fungsi waktu (oscilloscope)

b.     Domain frekuensi: sinyal sebagai fungsi frekuensi (spectrum analyzer)

c.     Keduanya adalah representasi berbeda dari sinyal yang sama

d.     Transformasi Fourier menghubungkan kedua domain

e.     Contoh: sinyal audio (domain waktu) → spektrum frekuensi (domain frekuensi)

4.     Aplikasi dalam Elektronika

a.     Analisis spektrum sinyal (harmonic distortion)

b.     Desain filter (menentukan respons frekuensi)

c.     Analisis modulasi (AM, FM, PSK)

d.     Pengolahan audio dan komunikasi

e.     Contoh: mendeteksi harmonisa pada output PA (Power Amplifier)

B.    Transformasi Fourier (FT)

1.     Definisi Transformasi Fourier

a.     Transformasi Fourier mengubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi

b.     X(f) = ∫₋∞⁺∞ x(t) e^(-j2πft) dt — untuk sinyal kontinu

c.      X(f) adalah spektrum frekuensi (kompleks)

d.     X(f) = magnitude spektrum (amplitudo)

e.     ∠X(f) = phase spektrum (sudut fase)

2.     Transformasi Fourier untuk Sinyal Sederhana

a.     Sinyal sinus: X(f) = δ(f - f₀) + δ(f + f₀) — dua garis spektrum

b.     Sinyal persegi: X(f) = sinc(f) — spektrum kontinu

c.     Sinyal impuls (delta): X(f) = 1 — semua frekuensi

d.     Sinyal eksponensial: X(f) = 1/(a + j2πf)

e.     Aplikasi: analisis respons sistem linear

3.     Sifat-Sifat Transformasi Fourier

a.     Linearitas: FT(a·x(t) + b·y(t)) = a·X(f) + b·Y(f)

b.     Pergeseran waktu: FT(x(t - t₀)) = X(f)·e^(-j2πft₀)

c.     Pergeseran frekuensi: FT(x(t)·e^(j2πf₀t)) = X(f - f₀)

d.      Konvolusi: FT(x(t) * y(t)) = X(f)·Y(f)

e.     Perkalian: FT(x(t)·y(t)) = X(f) * Y(f)

4.     DTFT (Discrete-Time Fourier Transform)

a.     DTFT untuk sinyal diskrit: X(ω) = Σₙ x[n] e^(-jωn)

b.     ω = frekuensi digital (radian/sample)

c.     DTFT menghasilkan spektrum kontinu (periodik)

d.     Digunakan untuk analisis sinyal digital

e.     Aplikasi: desain filter digital

C.    DFT (Discrete Fourier Transform)

1.     Definisi DFT

a.     DFT mengubah N titik data diskrit menjadi N titik spektrum frekuensi diskrit

b.     X[k] = Σₙ₌₀ᴺ⁻¹ x[n]·e^(-j2πkn/N) — formula DFT

c.     x[n] = (1/N) Σₖ₌₀ᴺ⁻¹ X[k]·e^(j2πkn/N) — inverse DFT (IDFT)

d.     N = jumlah titik data (panjang sinyal)

e.     X[k] adalah spektrum pada frekuensi fₖ = k × (f_s/N)

2.     Hubungan DFT dengan FT

a.     DFT adalah versi diskrit dari FT (untuk sinyal diskrit)

b.     DFT memberikan spektrum pada N titik frekuensi yang seragam

c.     Resolusi frekuensi: Δf = f_s/N

d.     Semakin panjang sinyal (N besar) → resolusi frekuensi semakin baik

e.     Aplikasi: analisis spektrum data digital

3.     Frekuensi Digital dan Analog

a.     f_analog = k × (f_s/N) — frekuensi analog ke-k

b.     ω = 2π × (k/N) — frekuensi digital (radian)

c.     f_analog maksimum = f_s/2 (Nyquist limit)

d.     Contoh: f_s = 1000 Hz, N = 1024 → Δf = 0.9766 Hz

e.     Aplikasi: menentukan frekuensi komponen sinyal

D.    Aliasing dan Teorema Nyquist

1.     Definisi Aliasing

a.     Aliasing adalah fenomena ketika frekuensi tinggi "menyamar"

b.     Terjadi jika f_s < 2 × f_max

c.     Frekuensi alias: f_alias = f - k × f_s untuk bilangan bulat k

d.     Contoh: sinyal 90 Hz di-sampling dengan f_s = 100 Hz → muncul sebagai 10 Hz

e.     Aliasing menyebabkan distorsi dan informasi yang hilang

2.     Teorema Nyquist-Shannon

a.     Untuk merekonstruksi sinyal tanpa aliasing, f_s ≥ 2 × f_max

b.     f_s = frekuensi sampling (sample rate)

c.     f_max = frekuensi maksimum dalam sinyal

d.     f_N = f_s/2 = frekuensi Nyquist (batas maksimum yang dapat direpresentasikan)

e.     Jika f > f_N, terjadi aliasing

3.     Anti-Aliasing Filter

a.     Filter low-pass sebelum ADC untuk membuang frekuensi di atas f_N

b.     f_cutoff ≈ f_N = f_s/2

c.     Filter analog (RC, op-amp) atau filter digital

d.     Aplikasi: semua sistem digital (audio, video, komunikasi)

e.     Contoh: pada ADC audio (f_s = 44.1 kHz, f_N = 22.05 kHz)

4.     Contoh Perhitungan Aliasing

a.     f_s = 1000 Hz, f_N = 500 Hz

b.     Sinyal 600 Hz → alias pada 400 Hz

c.     Sinyal 1200 Hz → alias pada 200 Hz

d.     Sinyal 1600 Hz → alias pada 600 Hz (atau 400 Hz)

e.     Aplikasi: memilih f_s yang tepat untuk aplikasi

E.    FFT (Fast Fourier Transform)

1.     Prinsip FFT

a.     FFT adalah algoritma untuk menghitung DFT dengan cepat

b.     Kompleksitas DFT: O(N²) — sangat lambat untuk N besar

c.     Kompleksitas FFT: O(N log₂ N) — jauh lebih cepat

d.     Ditemukan oleh Cooley dan Tukey (1965)

e.     FFT adalah salah satu algoritma paling penting dalam pemrosesan sinyal digital

2.     Algoritma FFT Cooley-Tukey

a.     Divide-and-conquer: memecah DFT N-titik menjadi dua DFT N/2-titik

b.     Rekursif: terus dipecah hingga DFT 2-titik

c.     Butterfly operation: operasi dasar FFT

d.     Memerlukan N = 2ᵐ (pangkat dua) untuk efisiensi maksimal

e.     Aplikasi: semua library DSP (numpy.fft, MATLAB fft)

3.     Implementasi FFT

a.     Python: numpy.fft.fft(x) — FFT dari sinyal x

b.      MATLAB: fft(x) — FFT dari sinyal x

c.     Output: X = FFT(x) → spektrum kompleks

d.     Magnitude: X = np.abs(X) atau abs(X)

e.     Phase: ∠X = np.angle(X) atau angle(X)

4.     Aplikasi FFT

a.     Analisis spektrum (melihat komponen frekuensi sinyal)

b.     Filtering (mengubah spektrum, inverse FFT)

c.     Komunikasi (OFDM, modulasi)

d.     Audio (equalizer, efek)

e.     Contoh: menganalisis spektrum sinyal AM/FM

F.     Windowing (Jendela)

1.     Mengapa Window Dibutuhkan?

a.     FFT mengasumsikan sinyal periodik (berulang tak hingga)

b.     Sinyal nyata terbatas (tidak periodik)

c.     Pemotongan sinyal menyebabkan spectral leakage (kebocoran spektrum)

d.     Window mengurangi leakage dengan menghaluskan tepi sinyal

e.     Aplikasi: analisis spektrum akurat

2.     Jenis-Jenis Window

a.     Rectangular window (tanpa window) — spectral leakage besar

b.     Hann window (Hanning) — mengurangi leakage, baik untuk analisis umum

c.     Hamming window — mirip Hann, sidelobe lebih rendah

d.     Blackman window — sidelobe sangat rendah, resolusi kurang

e.     Kaiser window — dapat disesuaikan (trade-off resolusi vs sidelobe)

3.     Perbandingan Window

a.     Rectangular: sidelobe tinggi (-13 dB), resolusi terbaik

b.     Hann: sidelobe sedang (-31 dB), resolusi baik

c.     Hamming: sidelobe -43 dB, resolusi baik

d.     Blackman: sidelobe -58 dB, resolusi kurang

e.     Pilihan: Hann untuk umum, Blackman untuk dynamic range tinggi

4.     Aplikasi Window

a.     FFT untuk sinyal non-periodik (audio, suara)

b.     Analisis spektrum real-time

c.     Pengukuran distorsi harmonisa (THD)

d.     Contoh: menganalisis spektrum suara dengan Hann window

G.    Studi Kasus: Spektrum Sinyal AM/FM

1.     Spektrum Sinyal AM

a.      Sinyal AM: carrier + upper sideband + lower sideband

b.     FFT menunjukkan tiga puncak: f_c - f_m, f_c, f_c + f_m

c.     Amplitudo sideband = μ/2 × A_c

d.     Contoh: f_c = 1 MHz, f_m = 10 kHz, μ = 0.5

e.     Spektrum: carrier (100%), sideband (25% each)

2.     Spektrum Sinyal FM

a.     Sinyal FM: carrier + multiple sideband (Bessel functions)

b.     Spektrum: f_c ± n·f_m (n = 0, 1, 2, 3, ...)

c.     Amplitudo sideband = Jₙ(β) × A_c

d.     Bandwidth: Carson's rule → BW ≈ 2(Δf + f_m)

e.     Contoh: f_c = 100 MHz, f_m = 15 kHz, β = 5

3.     Spektrum Sinyal Digital (PSK, QAM)

a.     PSK: spektrum seperti sinyal pembawa dengan sideband

b.     QAM: spektrum kompleks dengan dua komponen (I dan Q)

c.     FFT digunakan untuk menganalisis kualitas sinyal

d.     Aplikasi: EVM (Error Vector Magnitude), constellation diagram

e.     Contoh: analisis sinyal WiFi (OFDM)

4.     Analisis Distorsi Harmonisa (THD)

a.     THD = √(Σ Vₙ²) / V₁ (n = 2, 3, 4, ...)

b.     FFT untuk mengukur harmonisa pada output amplifier

c.     THD rendah → amplifier linier, THD tinggi → distorsi

d.     Aplikasi: mengukur kualitas audio amplifier, PA

e.     Contoh: THD < 0.1% untuk hi-fi audio